Tartalomjegyzék
A napló közvetlen linkje:
http://teveclub.hu/naplo/90227
|
A Monty Hall-paradoxon
Az alábbi idézet Craig F. Whitaker Marylin vos Savanthoz, a Parade magazin rovatvezetőjéhez írt levele egy részletének fordítása, 1990-ből:
"Képzeljük el, hogy egy vetélkedőben szerepel, és három ajtó közül kell választania. Az egyik mögött kocsi van, a másik kettő mögött viszont kecske. Tegyük fel, hogy maga az 1. ajtót választja, mire a műsorvezető, aki tudja, melyik ajtó mögött mi van, kinyitja a 3. ajtót, megmutatván, hogy amögött kecske van. Ezután önhöz fordul, és megkérdezi: „Nem akarja esetleg mégis a 2. ajtót választani?” Vajon előnyére válik, ha vált? "
A józan ész logikája a legtöbb embernek azt diktálja, hogy mindegy, váltok-e vagy sem. Az érvelés a következő: ha két ajtó van csukva, az egyik mögött autó, a másik mögött kecske, akkor 50-50% az esélye, hogy az autót nyerem, akármelyiket is választom. Látszólag az, hogy a korábbi döntést figyelmen kívül hagyva, „tiszta lappal kezdve” választok egy ajtót, vagy hogy az előző választásomat módosíthatom, nem befolyásol semmit.
A helyes válasz az igen, az esélyeink az autó megnyerésére megduplázódnak, ha váltunk. Amikor a játékos először kiválaszt egy ajtót, 1/3 az esélye, hogy az autót választotta, 2/3 az esélye, hogy kecskét. Az, hogy a műsorvezető ezek után kinyitja a másik két ajtó egyikét, megmutatván egy kecskét, nem változtat ezeken a valószínűségeken, továbbra is 1/3 az esélye, hogy az elsőre választott ajtó mögött van az autó. Csakhogy ezen a ponton a két másik ajtó közül már csak az egyik van csukva – annak a valószínűsége pedig, hogy az autó valamelyik csukott ajtó mögött van, még mindig 1/3 –, ezért tehát 2/3 valószínűséggel a másik csukott ajtó mögött van a kocsi.
Könnyebben átláthatunk a szitán, ha három ajtó helyett százat képzelünk el. Továbbra is egy mögött van autó, de most 99 mögött van kecske. Az első választáskor 100 esetből 99-szer kecskét választunk, és csak 1-szer autót. Ha ezután Monty 98 kecskét rejtő ajtót kinyit, 100 esetből 99-szer az egyetlen másik csukva hagyott mögött van az autó, és csak 1 esetben van mögötte kecske. Nyilvánvaló tehát, hogy érdemes váltani.
Egy másik lehetséges megfogalmazás: a váltással a játékos biztosítja, hogy nyerjen, ha eredetileg kecskét választott. Mivel eredetileg 2/3 esélye van kecskét választani, a váltással 2/3 eséllyel nyer.
Ahelyett, hogy Monty kinyit egy kecskét rejtő ajtót, az is működik, ha a két, játékos által nem választott ajtót „összevonjuk”. Így tkp. a játékos azt dönti el, hogy megmarad az eredetileg választott egyetlen ajtónál, vagy inkább vált, és mind a két másik ajtót kinyitja. Az pedig nyilvánvaló, hogy két ajtó kinyitásával jobbak az esélyeink az autót megnyerni, mint eggyel.
Megpróbálhatjuk sokszor képzeletben (vagy valaki segítségével ténylegesen) lejátszani a játékot. Első körben soha ne cseréljünk. Hamar észre fogjuk venni, hogy teljesen mindegy, melyik ajtót nyitja ki a műsorvezető, csak akkor fogunk nyerni, ha már elsőre is jól választottunk, azaz 1/3 eséllyel. Második nekifutásra mindig cseréljünk! A cserével csak akkor nyerünk, ha elsőre nem az autót választottuk ki (kb. 3 esetből 2-szer), ennek a valószínűsége pedig 2/3.
Egy érdekes variáció a játékra, ha ugyanúgy három ajtó van, egy autó, két kecske, de két játékos választ egy-egy ajtót. (Nem ugyanazt.) A következő lépésben az egyik játékos, aki kecskét választott, kiesik, Monty pedig kinyitja az általa választott ajtót, majd felteszi a bent maradó játékosnak a szokásos kérdést. Ha mindkét játékos kecskét választott, Monty véletlenszerűen dönti el, hogy ki fejezi be a játékot. (Természetesen erről a játékosok nem tudnak.) A kérdés ezután ugyanaz: érdemes-e a bennmaradt játékosnak váltania?
A meglepő válasz az, hogy nem! Mégpedig azért, mert a bennmaradt játékos a váltással csak akkor nyerhet, ha az elsőre választott két ajtó egyike mögött sem autó volt. Ennek pedig 1/3 az esélye. Ha marad, 2/3 eséllyel nyeri meg az autót. A fenti táblázatos formához hasonlóan itt is fel lehet írni az eseteket. Tegyük fel, hogy az 1. játékos mindig az 1. ajtót, a 2. játékos mindig a 2. ajtót választja.
|
